贵阳市普通高中 2018 届高三年级第一学期期末文科理科数学监测考试

发布日期：2018-01-23 【大中小】

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贵阳市普通高中 2018 届高三年级第一学期期末监测考试

高三数学（文科）参考答案与评分建议

2018．1

题号

答案

13． -3

14． 2

15．1

16． 8

17．解：（Ⅰ）∵a₁ + a₂

= 4, a₃ - a₂ = 6 ，

ìa(1 + q) = 4

∴ í ¹

，

_îa₁ ( q² - q) =

∵ q > 0 ，∴ q = 3, a₁ = 1

∴ a_n =1´3ⁿ^-¹ = 3ⁿ^-¹ _，即数列{a_n } 的通公式项为 a_n = 3ⁿ^-¹ ；

…………………………………………………………………6 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a

= 3ⁿ^-¹，S

1 ´ (1- 3ⁿ )

3ⁿ -1

1 - 3

因为ka

, S

,-1 成等差数列，所以

= ka -1，即 2 ´

3ⁿ -1

= k´3ⁿ^-¹

-1，∴ k = 3 ．

…………………………………………………………………12 分

18．解：（Ⅰ）女生打分平均数 ¹（68+69+76+75+70 + 78+79+82+87+96 ）=78 ， 10

男生打分数据比较分散；…………………………………………………………………4 分

（Ⅱ） a = ₂₀⁹ ¸10 = 0.045 …………………………………………………………………8 分

（Ⅲ）设“有女生被抽中”为事件 A ，打分在 70 分以下（不含 70 分）的同学中男生 4 人

设为 a , b, c, d ,女生有 2 人设为 m, n ,

基本事件有 ab, ac, ad , am, an, bc, bd , bm, bn, cd , cm, cn, dm, dn, mn ，共15 种，其中有女生

的有 9 种，所以P ( A) =		9	=	3	. …………………………………………………………12 分
	15			5

高三数学（文科）参考答案与评分建议第 1 页，总 4 页

19．（Ⅰ）证明：取 AC 的中点 O ，连接OB 与 OD ，
∵ BA = BC ，∴ AC ^ OB ，	D		C
	D
∵ AD = CD ∴ AC ^ OD ，
又∵ OD OB = O ，			O
∴ AC ^平面 OBD ，又 BD Ì 平面OBD ，		A	B
∴ AC ^平面 OBD ，又 BD Ì 平面OBD ，		A

∴ AC ^ BD ；

…………………………………………………………………6 分

（Ⅱ）解：当四面体 ABCD的体积中最大时，平面 DAC ^ 平面 ABC ，

∵ DO ^ AC ，

∴ DO ^平面 ABC ，又∵ OB Ì 平面 ABC ，

∴ DO ^ OB ，

∵ DA = DC = 32, AC = 6, AB = BC = 5 ，

∴ OD = DA² - OA² = 18 - 9 = 3, OB = AB ² - OA² = 25 - 9 = 4 ，

DB = OB ² - OD² = 16 + 9 = 5 ，又 BC = 5 ，

在 DBCD 中， CD 边的高 h = BC² - ( ^CD₂ ) ² = 25 - ¹⁸₄ = ₂⁸² ，

	=	1	´ CD´ h =	1	´ 3		´	82	=	3	41
^S DBCD						2						，
		2		2				2			2

S _D_ABC = ¹₂ ´ AC ´ OB = ¹₂ ´ 6 ´ 4 =12 ，

^∵^V A - BCD ⁼^VD - ABC ^，

∴ ¹₃ S _D_BCD ´ d = ¹₃ S _D_ABC ´OD ，

∴ _d ₌ ^S DABC ^´^OD ₌ ¹² ^´³ ₌ ²⁴⁴¹^S_D_BCD³41 41

2

∴ A 点到平面 BCD的距离	24	41	．

	41
	41

……………………………………………12 分

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20．解析：（Ⅰ）由题意得 A( -a , 0), B (0, b) ，可设 P ( c , t )(t > 0) ，

∴	_c 2	+	_x2	= 1，解得 t =	_b2	即P ( c ,	_b2	)，
	a ²		b²		a		a

_b2

由 AB // OP 得 ^b_a = ^a_c ，即 b = c ，

∴a ² = b ² + c ² = 2b²	① 又AB = 2	3	，∴ a ² + b² =12②
由①，②得 a² = 8 ，b²	= 4 ，∴椭圆 C 的方程为			x²	+	y²	= 1 ；…………………………6 分
				8
					4

（Ⅱ）假设存在 D ( m, 0) ,使得直线 QA 的斜率与 QD 的斜率乘积恒为 - ¹₂ ，设 Q ( x₀ , y₀ ) ，则

x	2	+	y	2	= 1
0			0			③
8			4			③
8			4

∵k ´ k = -	1	，A( -2
			2, 0)，

QAQD	2

∴

y₀

= -

④

+ 2

x - m

2 = 0

ïm- 2

由③，④得 ( m - 2

2) x₀ - 2

2m + 8= 0

，由题意得í

，解得m = 2

2 ，

-2 2 m + 8 = 0

．……………………………………………12 分

∴存在点 D(2

2, 0) ，使得 k_QA ´ k_QD = -

21．解：（Ⅰ）因为f ( x ) = ( x - 1) e^x +1 ( x Î R) ，所以 f ¢( x ) = xe^x ，

由

，得

；¢

> 0

时，

；

时，

；

f (x) = xe

= 0 f (x) = xe

x> 0

f (x) = xe

< 0x < 0

所以 f ( x ) = ( x - 1) e^x +1 在区间 ( -¥, 0) 上单调递减，在区间（0，+ ¥) 上单调递增，

所以f ( x ) = ( x - 1) e^x

+1 的最小值为 f (0) = 0 ，

即函数f ( x ) = ( x - 1) e^x

+1 有唯一零点 x = 0 ；…………………………………………6 分

（Ⅱ）曲线 g ( x ) = e ^x + ax -1 与切线y = 2x 相切于点 ( x , y

) ，

因为g ( x ) = e ^x

+ ax -1 ，所以 g ¢( x ) = e^x + a ，

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ìe ^x0 + a = 2

∴ íy₀ = e ^x0 + ax₀ -1 ,消去 a, y₀ 得 ( x₀ - 1)e^x0 + 1 = 0 ，

^ï_îy₀ = 2x₀

由（Ⅰ）知方程 ( x₀ - 1)e^x0 + 1 = 0 有唯一根 x₀ = 0 ， e⁰ + a = 2 ，∴ a =1．

…………………………………………………………………12 分

_{22．解：（Ⅰ）由} r = ^{4 cos}^q _得 r sin ² q = 4 cosq，\r ² sin ² q = 4r cosq _，即 sin ² q

y ² = 4x(x ¹ 0) ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ² = 4 x ( x ¹ 0) ；直线 l 参数方程

ìx = 2 + t cosa		，（ t 为参数，0 ≤a < p ）．
í		，（ t 为参数，0 ≤a < p ）．
_îy = -2	+ tsin a

…………………………………………………………………5 分

			ìx = 2 + tcosa		代入y ² = 4x(x ¹ 0)得
（Ⅱ）将í
			_îy = -2 + tsin a
(sin ² a )t ² - 4(sin a + cosa)t - 4 = 0,
∴t	+ t		=	4(sina + cosa)		= 0 ，∴a =	3p	.
				sin² a			4
1		2

…………………………………………………………………10 分

23．解：（Ⅰ）当 x ≤0 时，不等式的解集为空集；当 x > 0 时，| 2 x - 3 |< x Þ - x < 2 x - 3 < x Þ 1 < x < 3 ，

∴1, 3 是 x ² - mx + n = 0 的两根，

ì1 - m + n = 0,		ìm= 4,	∴m - n =1；
∴ í	- 3m + n = 0,	∴ í
î⁹		_în= 3.

…………………………………………………………………5 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ab + bc + ac =1，

a ²

+ b ²

b ² + c²

a ² + c²

a ² + b ² + c² =

a ² + b ²

b² + c²

a²

+ c²

∵

≥ ab,

≥bc ,

≥ ac

a² + b²

b²

+ c²

a²

+ c²

∴a ² + b ² + c ² =

≥ab + bc + ac = 1.

（当且仅当 a = b = c = ₃³ 时取等）

∴ a ² + b ² + c² 的最小值是1．……………………………………………………………10 分

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高三数学（理科）参考答案与评分建议

2018．1

题号

答案

13． -3

14． 2

15．1

16． 4 3

17．解：（Ⅰ）∵a₁ + a₂

= 4, a₃ - a₂ = 6 ，

ìa (1 + q) = 4

∴ í ¹

，

_îa₁ ( q ² - q) = 6

∵ q > 0 ，∴q = 3, a₁ = 1

∴ a =1´3ⁿ^-¹

= ₃n-1

即数列{a } 的通公式项为 a

= 3ⁿ^-¹ ；………………………………6 分

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b_n = log₃ a_n₊₁ = log₃ 3ⁿ = n .

b_n₊₁ - b_n = n +1- n = 1 _，数列{b_n } 是首项 b₁ =1，公差 d =1的等差数列，

∴T =

n ( n+1)

，则

= 2(

) ，

T_n

n ( n + 1)

n n +1

+ +

，

´ 3

n ´ ( n +1)

T T

T1 ´ 2 2

= 2(

+ +

) = 2(

) < 2 ´ 1 = 2 ,

1 2 2 3

n n + 1

1 n +1

∴

< 2 .…………………………………………………………………12 分

18．解：（Ⅰ）图（1）中 a 的值为 0.03,用 A_i 表示甲选择 L_i (i = 1, 2) 40 分钟从 A 地到 B

地，用 B_i 表示乙选择 L_i (i = 1, 2) 50 分钟从 A 地到 B 地，则

P ( A₁ ) = (0.01 + 0.02 + 0.03) ´ 10 = 0.6 ， P ( A₂ ) = (0.01 + 0.04) ´ 10 = 0.5

P ( A₁ ) > P ( A₂ ) ，所以甲应选择 L₁ . 又 P ( B₁ ) = (0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.02) ´ 10 = 0.8 ，

P ( B₂ ) = (0.01 + 0.04 + 0.04) ´ 10 = 0.9 ， P ( B₂ ) > P ( B₁ ) ，所以乙应选择 L₂ ．

…………………………………………………………………6 分

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(Ⅱ)用 M , N 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到 B 地，由

（Ⅰ）知 P ( M ) = 0.6, P ( N ) = 0.9 ， X 的可能取值为 0，1,2 ．

由题意知， M , N 相互独立.

∴ P ( X = 0) = P ( M × N ) = P ( M ) × P ( N ) = 0.4 ´ 0.1 = 0.04 ，

P ( X = 1) = P ( M N + M N ) = P ( M ) P ( N ) + P ( M ) P ( N ) = 0.4 ´ 0.9 + 0.6 ´ 0.1 = 0.42 ，

P ( X = 2) = P ( MN ) = P ( M ) × P ( N ) = 0.6 ´ 0.9 = 0.54 ，

∴ X 的分布列为

X	0	1	2

P	0.04	0.42	0.54

∴ EX = 0 ´ 0.04 + 1´ 0.42 + 2 ´ 0.54 =1.5 ．

…………………………………………………………………12 分

19．解：（Ⅰ）取 AC 的中点 O ，连接 OB 与 OD ，

∵ BA = BC ，∴ AC ^ OB ，

又 AC ^ BD ， OB BD = B ，

∴ AC ^平面 OBD _，又 OD Ì 平面 OBD ，

∴ AC ^ OD ，∴ ÐAOD = ÐCOD = 90° ，又 OA = OC ， OD = OD，

∴ DOAD≌DOCD ，∴ CD = AD ；

…………………………………………………………………6 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ÐBOD 即二面角 D - AC - B 的平面角，即 ÐBOD = ³₄ p _，

过 D 作平面 ABC 的垂线，垂足为 E ，由（Ⅰ）知，E 点在 BO 的延长线上，∴ ÐDOE = ^p₄ ，

建立如图的空间直角坐标系，

∵ DA = DC = 17 ， AC = 6 ， AB = BC = 5 ，

∴ OD = DA² - OA² = 17 - 9 = 22 ， OB = AB² - OA² = 25 - 9 = 4 ，

∴OE = DE = 2		sin ^p = 2 ，
∴OE = DE = 2	2	sin ^p = 2 ，
4					z
4					z
∴ A(3, 0, 0), B (0, 4, 0), C ( -3, 0, 0), D(0, -2, 2) ，				D
CB = (3, 4, 0) ， CD = (3, -2, 2) ， AB= ( -3, 4, 0)			，			C
					O	_B y
				E
				E
设平面 DBC 的法向量n = ( x, y , z) ，				x ^A

高三数学（理科）参考答案与评分建议第 2 页，总 5 页

= 0

ì3x + 4 y = 0

ìx = 4

ïn × CB

∴í

n × CD

= 0

，即 í

，取 íy = -3 ，即n = (4, -3, -9) ，

3x - 2 y + 2z = 0

_îz = -9

AB×n

∴直线 AB 与平面 DBC 所成角的正弦值为sinq =

12 106

．

| n |

106´5

265

…………………………………………………………………12 分

20．解：（Ⅰ）由题意得 A( -a , 0), B (0, b) ，可设P ( c , t )(t > 0) ，

∴

c²

x²

= 1

，解得t =

b²

，即P ( c ,

b²

) ，

a²

b²

由 AB // OP 得 ^b_a = ^a_c ，即 b = c ，

∴ a ² = b ² + c ² = 2b² ， ① 又 AB = 23 ，∴ a ² + b² =12 ，②

由①，②得 a² = 8 ， b² = 4 ，∴椭圆 C 的方程为 ^x² + ^y² = 1 ； 8 4

（Ⅱ）假设存在 D ( m, 0) 使得直线 QA 的斜率与 QD 的斜率乘积恒为定值，设 Q ( x0 , y0 )则

，

= 1

③

设 k

´k

= k （常数），∵ A( -2

y₀

= k

2, 0) ，∴

④

x₀

+ 2

x₀ - m

由③，④得(2k + 1) x₀ - (2 km + 2

2) = 0，

ì2 k + 1 = 0

，∴ k = -

，m = 2 2

^∴í

，

2km + 2

2 = 0

∴存在点 D(22, 0) ，使得 k_QA ´ k_QD = - ¹₂ ．

…………………………………………………………………12 分

21．解：（Ⅰ）因为 f ( x ) = e ^x - x + a ， ( x Î R) ，所以 f ¢( x ) = e^x -1，

令 f ¢( x ) = e^x - 1 = 0 ，得 x = 0 ；f ¢( x ) = e^x - 1 > 0 时，x > 0 ；f ¢( x ) = e^x - 1 < 0 时，x < 0 ；

所以 f ( x ) = e ^x - x + a 在区间 ( -¥, 0) 上单调递减，在区间 (0, +¥) 上单调递增，所以

f ( x ) = e ^x - x + a 的最小值为 f (0) = e ⁰ - 0 + a = 1 + a . 由 f ( x) ≥ 0 对任意的 x Î R 恒成

高三数学（理科）参考答案与评分建议第 3 页，总 5 页

立，即 f ( x) _min ≥ 0 ，1 + a ≥0，\ a ≥-1_.即实数 a 的范围[ -1, +¥) ；

…………………………………………………………………6 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 e ^x - x -1 ≥ 0 ，即1+ x ≤ e^x ，

≤e^-

令 x = -

( n Î N ^* , k = 0,1, 2,..., n -1)

则0 < 1 -

，

)ⁿ ≤(e ^-

所以 (1-

)ⁿ = e^-^k ，

(

)

+ (

)

+ (

)

+ + (

)

≤e

- ( n-1)

+ e

- ( n-2)

+ + e

-2

+ e

-1

+ e

，

1- e^-ⁿ

=1+

< 2

，

1- e^-¹

- e^-¹

e -1

所以 ( ¹_n ) ⁿ + ( _n² ) ⁿ + ( _n³ ) ⁿ ++ ( _nⁿ) ⁿ < 2 ，又 ( ¹₃ ) ³ + ( ²₃ ) ³ + ( ³₃) ³ >1 ，

所以 t 的最小值为 2 ．…………………………………………………………………12 分

_{22．解：（Ⅰ）由} r = ^{4 cos}^q _得 r sin ² q = 4 cosq，\r ² sin sin ² q

y ² = 4x(x ¹ 0) ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ² =

ìx = 2 + t cosa		，（ t 为参数，0 ≤a < p ）．
í		，（ t 为参数，0 ≤a < p ）．
_îy = -2	+ tsin a

² q = 4r cosq ，即

4 x ( x ¹ 0) ；直线 l 参数方程

…………………………………………………………………5 分

			ìx = 2 + tcosa		代入y ² = 4x(x ¹ 0)得
（Ⅱ）将í
			_îy = -2 + tsin a
(sin ² a )t ² - 4(sin a + cosa)t - 4 = 0,
∴t	+ t		=	4(sina + cosa)		= 0 ，∴a =	3p	.
				sin² a			4
1		2

…………………………………………………………………10 分

23．解：（Ⅰ）当 x ≤0 时，不等式的解集为空集；当 x > 0 时，| 2 x - 3 |< x Þ - x < 2 x - 3 < x Þ 1 < x < 3 ，

∴1, 3 是 x ² - mx + n = 0 的两根，

ì1 - m + n = 0,		ìm= 4,	∴m - n =1；
∴ í	- 3m + n = 0,	∴ í
î⁹		_în= 3.

…………………………………………………………………5 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ab + bc + ac =1，

a ² + b² + c² =	a²	+ b²	+	b²	+ c²	+	a²	+ c²
a ² + b² + c² =		2	+		2	+		2
		2			2			2

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a ² + b ²

b ²

+ c²

a²

+ c²

∵

≥ ab,

≥bc ,

≥ ac

_a 2

+ b²

_b 2

+ c²

_a 2

+ c²

∴a ² + b ² + c ² =

≥ab + bc + ac = 1.

（当且仅当 a = b = c = ₃³ 时取等）

∴ a ² + b ² + c² 的最小值是1．……………………………………………………………10 分

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