如何把会做的数学题做对，保证不粗心？

          北大铭师堂李文

被粗心困扰的聪明孩子请忽略“天赋”之类的悲观看法。

犯过足够多数学粗心错误后，就能感觉到“粗心”并不是一种本质原因。它至少还可被细分为这几中：
1、看错题目粗心
2、简单经验性计算粗心，如3+7=11之类
3、考虑不周全粗心，未考虑到题目的多种可能
4、做题习惯不够好，如三角函数应该先平移后伸缩（反之则要乘以w）
5、简单做法未想到，导致未做出
我们需要对每种粗心都对症下药。
1、看错或未看全题目粗心：一般都是因为①注意力不集中 ②情不自禁看太快（可能对题目表述太熟悉，似曾相识，所以一目十行）
解决办法就是：①爬得离试卷更近一点（相对于舒服地坐端正），以求更集中注意力 ②将每个要点都画线，并且标上①②③，一来减慢读速确保每字都能看准，二来方便检查时回顾
2、简单计算性粗心：一般是为数不多的习惯性粗心，这种粗心是有限的。比如3+8就不会算错，但3+7就会，或者是潜意识中认为y=sinx曲线是半圆形的弧度（其实是很扁平的），都可能是源于错误的深刻印象
解决办法：①多做题，多汇总类似错误（汇总到一个本子上，可以集中看），尽量高考前可以把这类粗心都遇到 ②每次考试前都要认真看，用心读，以图纠正印象
3、考虑不周全粗心：比如未考虑到k=0情况，△≥0，判断q是否为1等情况。一般都是经验不丰富，印象不够深刻。往深了讲①学习初期习惯不好，对特定题型未形成考虑周全的习惯 ②记性差，并放纵自己记性差 ③不常反思，在考试前不整体巩固以加深印象
解决办法：①多做题，汇总自己考虑不周全的情况，按模块汇总分析。如函数、排列组合、解析几何都单独汇总，并归纳出易错点 ②多巩固，多练习，努力建立看到某种题型，即要注意某几个危险点的条件反射（像巴甫洛夫学习训练自己） ③经常回顾
4、做题习惯不好：比如算函数解析式带定义域的习惯，先平移后伸缩习惯，概率题目先想清楚再写的习惯。
解决办法：①不断汇总、整理坏习惯（写出来） ②多回顾
5、简单方法未想到：主要原因①训练不够，并且缺少总结 ②敏感度不够，条件反射不深刻。比如在三角函数题目中对1+sin2x=(cosx+sinx)²形式的敏感性，决定很多题是否能解出；解析几何中，判断大于/小于的题目，多于△或二元一次整式联想
解决方法：①多做题，多汇总错误，做出自己的反应机制汇总 ②多巩固

上面是细节上的建议，大一点的建议有：
1、买20个小笔记本。每个需要总结的地方，都用一个单独的笔记本。聪明的孩子自己会感觉到这种需要的。比如数学上，至少可以有：①每次考试的一个总结本，记录每次考试分数，应该考多少，错题有哪些，什么类型的，该怎样避免等等 ②记录同类错题的本子 ③公式、定理本子，专门用来巩固基础。等等。要认识到做总结的重要性，并为自己创造好的解决条件。
2、整齐的草稿纸。
3、遇到不该犯错的问题，多反思。这种反思都不太花时间（成绩好，错题少的情况下），吃饭排队时，上厕所，睡前都反思一边，这样折磨自己几天，记忆会深刻起来。
4、多回顾，多自测，短时间高频次回顾粗心总结。
5、留出时间检查。我几乎所有数学考试（含两次高考）都是看一眼，然后直接放弃最后一题最后一问，或者写出基础的得分步骤不再深做，然后用15分钟左右检查。一方面是确实能力有限，做不出来；另一方面检查能很有效找出错误，若有粗心，时间性价比则很高；另外也避免懊悔。

一些关于粗心的思考：
粗心本质就是“认为本应做对的，但犯了错误”。但是否本就能做对呢？可能并非这样。
不知道粗心和早期教学质量差，或者学习习惯差是否有关。那些3+7=11的错误印象，可能都是早年自恃聪明，过于自信，所以对学习漫不经心，对错误轻描淡写造成的。
不知粗心是否和内心不纯净有关，杂念太多，思维就不够集中。不知不粗心的人，是否内心纯净，不闻窗外事。

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如何彻底解决粗心问题？

直面自己的问题，而不是掩饰它

我们常常听到这样的说法：

“这次考试粗心又扣了20分。”

“填涂答题卡的时候不小心把两道题填反了。”

“明明要选B的题结果不知道为什么选成C了。”

一直以来，我特别讨厌所谓“粗心”的说法，似乎粗心是个筐，什么都能往里装。用这种借口来对这些丢分加以掩饰一笔带过，却根本意识不到明明就是你的能力尚有欠缺，甚至自以为是的认为，加上这20分，我还排在年级前20呢。

醒醒吧，你能加这20分，别人就不能加了吗？

更何况，高手过招，胜负只在半招之间。1分尚且能决定命运，20分又如何呢？

若是真的想要解决问题，首先必须直面问题，而不是逃避它。

所谓“粗心”，就是同学们在审题、计算、打草稿等方面能力欠缺的体现。

而这些方面的能力是可以通过有针对性的训练来进行培养的，通过养成良好的习惯，可以从根本上解决“粗心”的问题，从而完全避免不必要的丢分。

当然，我不指望你马上改变这个局面，毕竟一个习惯的养成也是需要大量的重复性训练才可以达到的。

接下来我将向大家介绍常见的几类“粗心”的错误，以及相应的解决方案。

关于审题

为什么每一位老师在讲解题目的时候说的第一步都是先审题？很简单，你连题目的意思都没弄清楚你怎么可能答对？

然而，在实际考试中，审题却是最常见的雷区。如果仔细去分析每一次考试丢分的来源，在没有养成良好的审题习惯时，我相信一定有很大一部分是来自于你没看清题目的要求，或者忽略了题目给出的关键条件。

比如在一道题干在这一页而问题在下一页的题目中，偶尔就会出现忽略了这一页的某个条件的失误；

比如只记得要填空却忘了括号里要保留多少位有效数字的要求；

比如看到纵轴的单位是伏特（）却没意料到横轴的单位是毫安（）；

比如看到弹簧就想当然地以为初始状态是原长。

这样犯过的错误数不胜数，你仿佛感受到了来自出题老师的满满恶意，好像他们费尽心机设下圈套就等你来钻。

这样的错误如何避免？

首先，大家在平时作业和小考中，就要养成良好的审题习惯。用笔圈出题干中的关键条件和要求，有图像的还要在图像中标示出来，如果题干和问题在一页纸的两面（不得不说这真是非常不友好的一件事），你最好把第一页中的关键条件抄到第二页，并且尤其要注意括号中的内容。在做题的时候，你还要检查你所圈出来的每一个条件是不是都用到了。

更重要的一点是，你需要不断积累自己的审题经验，有意识的去关注在题目中经常出现的容易成为自己犯审题错误的关键字眼，将它们总结到一起，比方说一看到弹簧你就要想它的初始状态是否为原长，一看到括号你就要提醒自己里面的内容很重要。一旦有了足够多的积累，并且形成了这样的条件反射，那么，你每看到一道题，你就会马上意识到这道题题干里面哪里是出题老师给我们挖的坑，哪里是容易忽略的关键条件，脑海里的警报就会响起。你甚至会觉得：呵呵，出题老师的雕虫小技也不过如此嘛，能骗到我？

关于计算

真的存在“计算能力强”的说法吗？看看《卖油翁》的故事吧。

康肃公陈尧咨擅长射箭，当时没有第二个，他凭借射箭的本领自夸。一次，他曾在自家的园圃里射箭，有个卖油的老翁放下挑着的担子，站在一旁，斜着眼看他，很久也不离开。老翁见到他射出的箭十支能中八九支，只是微微地点点头。

陈尧咨问道：“你也懂得射箭吗？难道我射箭的技艺不精湛吗？”老翁说：“没有什么别的奥妙，只不过是手法熟练罢了。”陈尧咨气愤地说：“你怎么能够轻视我射箭(的本领)！”老翁说：“凭我倒油（的经验）知道这个道理。”于是老翁取出一个葫芦放在地上，用一枚铜钱盖住葫芦的口，慢慢地用勺子倒油（通过铜钱方孔）注到葫芦里，油从铜钱的孔中注进去，却没有沾湿铜钱。接着老翁说：“我也没有什么其它奥妙，只不过是手法熟练罢了。”康肃公尴尬的笑着把老翁打发走了。

这与庄子所讲的庖丁解牛、轮扁斫轮的故事有什么区别呢？

如《卖油翁》所言，任何一种看似令人叹为观止的技艺或本领，实际上只是熟练的结果罢了，并不值得夸耀。

那么，所谓的计算能力强，也仅仅只是计算熟练而已。而反之，出现了计算问题，粗心绝不是理由，唯一的解释就是你的加减乘除能力还不到家，计算还不够熟练。

对于这一问题，我提供的解决方案是集中式训练。

如果同学们打算提高自己的计算熟练度。可以任意做100道3位数的乘除法计算题，不妨整整齐齐地打草稿，算出来之后和计算器的结果进行比对。

集中式训练所带来的好处远远不止是快速提高计算熟练度这么简单！我相信大家一定有这样的体会，有时候自己前面得出来一个比较奇怪的结果，不知道是不是对的（事后答案出来经常是对的，但你在不知道答案之前可能会一直怀疑自己），再继续往下做时总是会担心这里出错而影响后面的发挥。而集中式训练所带来的最大好处，是因为你在平时的训练中积累了大量的计算经验并且保持了98%甚至100%的正确率，那么在你计算得到一个非常奇怪的结果时，你有十足的理由对自己的答案有信心！这是非常非常重要的一种素质，并且是一旦建立起就无法摧毁的一种自信！我在高考的数学考场上，立体几何得到的结果是，圆锥曲线得到的结果是6400，凭借我在半年来的大题训练中所积累下的计算经验，我确定我的计算结果是对的，从而省下了很多怀疑自己的时间，并最终拿到了133分年级第二的好成绩，这与我当时自信的心态是密不可分的！

关于草稿

既然“粗心”的说法是一个伪命题，我想也不应该有所谓“草稿”的说法，因为可能一用这个词，你可能就对它不重视了，就开始区别对待了。草稿和写在卷面上的答案都是做题过程中的一部分，并没有哪部分比哪部分更重要的区别。

我们在上面提到，在平时养成了良好的审题习惯，考试起来就会得心应手。同样的，打草稿也有一套可操作的步骤，通过平时的不断训练也可以在考试中帮你发挥出最好的效果。

具体来说，平时做作业打草稿的步骤如下：

首先，通过多次对折，把草稿纸分为个小方块，每个小方块的大小适合打一道题的草稿即可；

其次，在做选择题和填空题时，一次只用一个小方块，写下较为完整的演算过程并得到结果；

然后，做大题的时候，可以多用几个小方块，注意根据上面审题提出的相关要求把一些关键条件给记录到草稿纸上，并且完全按照作业的要求在草稿纸上列式，注意一定不要跳步骤！一定不要跳步骤！一定不要跳步骤！可以这么说，如果你的草稿纸交上去当作业也未尝不可，那么你就达到了要求。

最后，还需要检查一遍，至于怎么检查我们在下一小节中会具体谈到。

只要平时作业打草稿按照这样的方法去实践半个月，我相信你的作业正确率上会有大大的提升。至于考试的时候，按照同样的方法去做就可以了。

当然，你可能会问了，我在考试的时候哪有这么多的时间打草稿？我相信聪明的你一定能理解这种方法的精髓，在熟练的基础上，你会发现这并不会给你增加额外的工作量，而是让你的草稿条理更加清晰，甚至在养成了这样的草稿习惯之后，你可以做一些简化和改进，来摸索出最适合自己的方法。

关于检查

其实在这几个部分里，检查是相对不那么有价值的一个步骤，因为实际上如果你把前面几个步骤都做好了，那么检查能给你带来的收益就已经不太大了。

但还是要聊聊检查，如果运用得当，它可以帮你预防一些最低级的错误，防止出现类似于“明明要选B却写的是C”这样的情况。

首先，我们之所以按照小方格的模式打草稿，一方面就是为了方便对思路和计算过程进行检查。因为如果随意地在草稿纸上演算，如果想要回过头来检查会出现根本找不到在哪里的情况，而如果分块按题序来打草稿，想要回顾哪一道题是一目了然的事情。又比如，如果你某一道难题不会做，你可以把你的思路和草稿暂时先放一放，之后等后面的题目完成再来回顾时，你可以直接找到上一次思路进展到了哪里，而不用全部推倒重来，在客观上为你节省了宝贵的时间。

其次，在你的审题、计算、草稿的步骤都到位的情况下，检查的步骤其实并不会花去太多的时间，建议不要最后来专门进行检查（我相信大家这样检查时一般都发现不了什么错误），而是把检查融入到答题的过程中，比方说放在每一节的内容结束时，如数学选择题做完了就快速浏览一遍草稿（这种检查能力在平时就应该培养），并且检查你选择的答案是不是你真正要选的，以及是否出现了填涂错误；然后填空题做完了再这样回顾一遍；再到大题目时，每做完一道题就快速浏览自己的过程，没有发现不合逻辑的地方就继续往下走。

当然，你可能会告诉我，有的时候我就是检查不出来自己出了错啊！我的答案是，你最好不要寄希望于检查出什么大的错误，而是要努力把前三个步骤都扎扎实实做好，从根源上解决出错的问题。如果自己不犯错，那又怎么可能检查得出错误呢？

以上的四个部分，就是我关于如何彻底解决粗心问题的一些见解。

【下】既然我无法更细心，我该怎么办

既然提升自己的细心程度已是奢望，我该怎么做呢？
四个字：开源节流，先节流，后开源。

· 节流——尽可能让自己的细心程度达到上限；

· 开源——提升自己的解题速度，来得到检查的时间；

（1）尽可能让自己的细心程度达到上限

一个人的细心程度是有上限的。但是否达到上限，取决于他自身。
奇瑞汽车自然不如法拉利那么好，但是如果把奇瑞汽车努力开到最快，在法拉利汽车慢悠悠地行使的时候，它也是能比法拉利快一些的。

怎么做？

· 控制自己的作息习惯，在考试时能达到适合解题的兴奋状态。这不是一句废话，它是最重要的。可能比其他因素加起来还重要。注意休息，不要疲劳答题！

· 考试前，给自己一个时间预期，并不断调整，找到自己的节奏。对于高三学生来说，某科的一套卷子一定做了很多遍了，题型什么的一定熟悉得不能再熟悉了。所以，给自己弄一个时间分配，比如选择题花多少时间，填空题花多少时间，计算题花多少时间，等等……做得快了，强迫自己慢下来；做得慢了，尤其是一道题卡住了，及时跳过。（这条对学神不适用）

· 整齐而规范的草稿纸。因为看错自己写的草稿而做错题实在是太冤枉了。打草稿也不能乱打啊。 

· 千万千万，不要轻视自己熟悉的题目。很简单的道理：淹死的都是会水的。

（2）提升自己的解题速度

提升自己的解题速度，简单地说，就是提高熟练度。
提高熟练度，无他，多练习，多总结。
多练习，形成思维模式。
多总结，整理思维模式。
由于时间是有限的，两者是需要平衡的。善于总结的人，不需要太多的练习。
至于总结知识点的方法，各种资料太多了，这里就不再赘述，不过需要注意两点：
（1）要自己的整理——不要看了别人整理的结果就以为自己懂了；
（2）要整理自己的——自己做错的题更有价值，错题集是必要的。

提高熟练度对提高正确率的帮助，并不是让自己更细心，而是让自己有时间检查。

简单的道理：一道你会做的题，如果你有90%的正确率，那你再换种方法做一遍，如果把两种方法视为独立事件，那你就有99%的正确率。你提升了9%的正确率，并不意味着你更细心了，而是因为你做了两遍。

抛砖引玉地提供一些方法：

· 如果你没有足够快的速度，不要检查每道题，挑你最可能做错的题来检查。

· 多检查选择题和填空题，因为你看不到步骤，而且错了就是零分。而解答题，你看得到步骤，粗心的概率会小一些，而且错了也有步骤分。

· 特殊值检查法。有些题，尤其是写通式的题，你不必再做一遍，带入几个容易计算的特殊值，如果结果是对的，那你做对的可能就很大。

最后，如果你做到了以上了一切，还是因为粗心做错了题，别灰心，记住：
细心是一种天赋，你已经努力地发挥了自己的天赋，你没有遗憾。

【细心是一种天赋，而认真是一种选择】

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